本文章我們要探討微積分中一個與AI重要概念的鋪墊，空間中的向量方程(vector functions)和空間中的曲線，有了這些概念，我們可以輕鬆定義二微以上的空間中的導數，進而幫助我們在接下來的偏微分做多微度的梯度下降，對於複雜的模型，了解曲線和向量方程可以幫助識別和創建更有效的特徵，從而改善模型的性能，事不宜遲，馬上來看空間向量導數的定義
向量方程中的導數與積分
在三維空間中我們可以將一個向量方程寫成如下，隨著t變動:
那麼，它的導數可以這樣定義:
如果要將整個向量方程r微分，可以逐個微分
至於積分也是一樣，逐個積分
曲線長度及曲率
曲線長度(Arc Length)
空間中的曲線長度我們是這樣定義的
也就是
曲線長度方程(Arc Length Function)
曲率(curvature)
我們用希臘字母kappa來表示曲率，定義如下
法向量(normal vector)及副法向量(binormal vector)
法向量的定義如下:
副法向量的定義如下
normal plane & osculating plane
normal plane: 以T(t)為法向量
osculating plane: 以B(t)為法向量 (所以如果微積分老師出這題，可以看出它不是太有良心)
所以本節的總結如下
這邊是從微積分書籍特別挑出對AI學習有特別幫助的部分，也方便銜接偏微分的重要概念，下一篇文章，我們將會講解偏微分及梯度的概念，有興趣請千萬不要錯過
